Prof. Guilherme Neves

26/03/2016 | 21:50
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Razão de semelhança - FGV!!!

Oi, pessoal!

Tudo bem?

Uma feliz Páscoa para você e sua família.

Antes de ler o artigo, tente resolver a seguinte questão.

(Assembleia Legislativa-MA 2013/FGV) Para fazer uma miniatura de sorveteiro foram utilizados 120 gramas de argila. Para fazer outra miniatura de sorveteiro, com exatamente as mesmas proporções da primeira e com a metade da altura, a quantidade necessária dessa mesma argila, em gramas, é Q. O valor de Q é

(A) 80. 
(B) 75. 
(C) 60. 
(D) 30. 
(E) 15.

Hoje vamos falar sobre um importante tema de Geometria que já apareceu em provas da FGV. Vamos começar falando no plano e depois partiremos para o resultado na Geometria Espacial.

A propriedade é a seguinte: a razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança.

O que isto significa? Se, por exemplo, multiplicarmos por 2 o raio de um círculo, sua área será multiplicada por 4, porque 22 = 4.

Se multiplicarmos por 3 os lados de um quadrado, sua área será multiplicada por 9, porque 32 = 9.

Se dividimos todos os lados de um losango por 5, sua área será dividida por 52 = 25.

Fácil, não?

Esta relação entre áreas pode ser estendida para a Geometria Espacial. Por exemplo, se multiplicarmos por 4 todos os lados de um cubo, sua área total será multiplicada por 42 = 16.

Vamos agora falar em volumes. Pense em uma esfera. O que acontece com o seu volume quando dobramos o seu raio?

Pois bem, a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança.

Desta maneira, ao dobrarmos o raio de uma esfera, seu volume será multiplicado por 23 = 8.

Se dividimos os lados de um cubo por 4, seu volume será dividido por 43 = 64.

Se multiplicarmos o raio de uma esfera por 5, a área de sua superfície será multiplicada por 52 = 25 e seu volume será multiplicado por 53 = 125.

Esta relação entre os volumes também é válida para a massa de corpos, já que a massa é proporcional ao volume. Assim, se estamos falando de uma bola de ferro, por exemplo, a sua massa será multiplicada por 23 = 8 quando o seu raio for multiplicado por 2.

Voltemos à questão da FGV.

(Assembleia Legislativa-MA 2013/FGV) Para fazer uma miniatura de sorveteiro foram utilizados 120 gramas de argila. Para fazer outra miniatura de sorveteiro, com exatamente as mesmas proporções da primeira e com a metade da altura, a quantidade necessária dessa mesma argila, em gramas, é Q. O valor de Q é

(A) 80.
(B) 75.
(C) 60.
(D) 30.
(E) 15.

Resolução

A altura foi dividida por 2 e foram mantidas exatamente as mesmas proporções. Sabemos que a razão entre os volumes é o cubo da razão de semelhança.

Assim, como a altura foi dividida por 2, o volume será dividido por 23 = 8. Como a massa e o volume são proporcionais, a massa também será dividida por 8.

Desta maneira, precisaremos de 120/8 = 15g de argila.

Letra E

Em suma: ao multiplicarmos as medidas lineares de uma figura por k, a área de sua superfície será multiplicada por k2 e seu volume será multiplicado por k3.

Agora uma curiosidade...

Em seu livro "Teaching Secondary Mathematics Through Applications", Herbert Fremont discute a aplicação desse princípio à seguinte questão motivada pelo livro "As Viagens de Gulliver":

É possível um gigante com a mesma forma de um homem, mas 10 vezes maior, correr tão depressa como nós?

Depois da mesma análise que fiz de como variam a área, o volume e a massa de figuras semelhantes, Fremont conclui: 

"Nosso grande e forte gigante é um sujeito infeliz. Seu fêmur é 100 vezes (102) mais forte que o nosso (pois a resistência do osso é proporcional à área de sua seção), mas precisa suportar um peso 1000 vezes maior (103)!!! Cada vez que ele se levanta, para caminhar ou correr, podemos imaginá-lo quebrando ambas as pernas!"

 

Ficamos por aqui. Bons estudos!!

Guilherme Neves

 

 

 

 


Comentários

  • 09/04/2016 - Érika
    Essas questões seguem esse mesmo raciocínio?:
    1. Uma confeitaria derreteu uma barra de chocolate de 30 cm de comprimento por 10 cm de largura e 20 cm de largura e moldou tabletes de 0,5 cm de altura por 3 cm de largura e 8 cm de comprimento. Supondo que não ocorreram perdas de chocolate, o número de tabletes que puderam ser feitos foi?
    2. Ao se aumentar em 2 m um dos lados de uma sala de forma quadrangular, e o outro lado em 3 m, a sal tornou-se retangular, com 56 m2 de área. Então, a medida, em metros, do lado do quadro era?
  • 09/04/2016 - Prof Guilherme Neves
    Não. Seguem as resoluções:

    01. O volume da barra é de 30x10x20 = 6.000 cm3.

    Os tabletes têm volume igual a 0,5x3x8 =12 cm3.

    Assim, a quantidade de tabletes é igual a 6.000/12 = 500.

    02. Digamos que o lado do quadrado é igual a x. Portanto, (x+2)(x+3) = 56.

    x^2+5x+6 = 56

    x^2+5x - 50 =0
    Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos x = 5.
  • 08/04/2016 - Érika
    Professor,
    Você é D+!!!
  • 08/04/2016 - Prof Guilherme Neves
    Obrigado, Érika!!
  • 01/04/2016 - Teófilo Barbosa
    Muito obrigado!
  • 31/03/2016 - Teófilo Barbosa
    Professor, muito bom o artigo!

    A questão a seguir se resolve por razão de semelhança entre volumes? Se sim, poderia me ajudar, pois não consegui aplicar. Obrigado!

    Uma fábrica de refrigerante decidiu produzir uma garrafa de 300 ml com o mesmo formato da garrafa de 600 ml, ou seja, a nova garrafa deve ter a metade do volume, mas deve manter as mesmas proporções que a garrafa original. Se a garrafa de 600 ml tem 24 cm de altura, então a altura, em centímetros, da garrafa de 300 ml será igual a
    a) 12
    b) 12√2
    c) 12∛4
    d) 16
    e) 16∛2

  • 31/03/2016 - Prof Guilherme Neves
    Olá, Teófilo. É o mesmo teorema!.

    (V1/V2) = (h1/h2)^3

    (600/300) = (24/h2)^3 --> Vou passar a usar h2 = h para não ficar tão poluído.

    2 = 13.824/(hˆ3)

    2(hˆ3) = 13.824

    hˆ3 = 6912 --> Precisamos agora calcular a raiz cúbida de 6.912. Para tanto, vamos fatorar este número.

    6.912 2
    3.456 2
    1728 2
    864 2
    432 2
    216 2
    108 2
    54 2
    27 3
    9 3
    3 3
    1

    Vamos agrupar estes fatores de 3 em 3.
    h^3 = (2^3) * (2^3) * (2^2) * (3^3)
    h = 2*2*3 * ∛4
    h = 12 * ∛4
    Letra C
  • 27/03/2016 - Naty foco
    Otima questão e melhor ainda a resolução obrigada prof
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