Prof. Guilherme Neves

16/03/2016 | 06:40
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Probabilidade Condicional

Oi, pessoal!

Tudo bem?

Imagine a seguinte situação: você está sentado em um teatro assistindo a uma peça. Há 400 homens e 600 mulheres no teatro. De repente, é anunciado que será sorteado um carro entre os espectadores.

Desta forma, como há 1.000 pessoas na plateia, a probabilidade de um homem ser sorteado é igual a 400/1.000 = 40% e a probabilidade de uma mulher ser sorteada é igual a 600/1.000 = 60%.

Se eu, Guilherme, estivesse sentado neste teatro, a minha chance de ganhar este carro seria de 1/1.000 = 0,1%.

Estas são as probabilidades a priori, quer dizer, antes que o experimento se realize.

Suponhamos que o apresentador do sorteio realize o experimento e resolva fazer um tipo de suspense. Ele então informa que a pessoa sorteada é um homem.

Ocorre uma frustração geral entre as mulheres. Por quê? Porque a chance de alguma mulher vencer agora é igual a 0. Esta é uma probabilidade a posteriori, isto é, depois de realizado o experimento.

Por outro lado, os ânimos dos homens se exaltam. Suas chances aumentaram!!

Ora, não temos mais 1.000 concorrentes, e sim 400. Os casos possíveis agora totalizam 400 pessoas. A minha chance que antes era de 0,1%, agora será de 1/400 = 0,0025 = 0,25%.

A minha chance de ganhar o carro aumentou! Observe que o espaço amostral foi “reduzido”.

Esta probabilidade "a posteriori" é chamada de Probabilidade Condicional.

Vejamos outro exemplo para entendermos bem este conceito. Considere a seguinte tabela que reúne alguns alunos do Ponto dos Concursos.

 

Usam óculos

Não usam óculos

Total

Mulheres

80

220

300

Homens

20

180

200

Total

100

400

500

Imagine que colocamos em uma caixa 500 papéis, cada um com o nome de um destes 500 alunos. Vou retirar um papel desta caixa.

A probabilidade de a pessoa sorteada usar óculos é igual a 100/500, pois há 100 pessoas que usam óculos em um total de 500 pessoas.

A probabilidade de a pessoa sorteada ser uma mulher é igual a 300/500, pois há 300 mulheres em um total de 500 pessoas.

Estas são probabilidades "a priori", pois foram calculadas antes da realização do sorteio.

Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada é uma mulher.

Qual é a probabilidade de ela usar óculos?

Percebeu a diferença?

Não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada é uma mulher! O total de possibilidades agora é 300. Queremos saber quantas pessoas, dentre as 300 mulheres, usam óculos. Ora, como há 80 mulheres que usam óculos, a probabilidade pedida (probabilidade a posteriori ou probabilidade condicional) é igual a 80/300.

Imagine agora que eu realizo o sorteio e aviso: a pessoa sorteada usa óculos.

Qual é a probabilidade de ela ser uma mulher?

Ora, não temos mais 500 pessoas, pois sabemos que a pessoa sorteada usa óculos. O total de casos possíveis agora é 100.

Como queremos calcular a probabilidade de esta pessoa ser mulher, devemos olhar na tabela quantas são as mulheres que usam óculos: 80.

Portanto, a probabilidade pedida é 80/100.

Vamos treinar mais um pouco. Sabendo que a pessoa sorteada não usa óculos, qual é a probabilidade de ser um homem?

Ora, se a pessoa sorteada não usa óculos, estamos restritos a 400 pessoas. Destas 400 pessoas que não usam óculos, 180 são homens. Portanto, a probabilidade pedida é 180/400.

Vamos agora resolver uma questão recente sobre este assunto.

(APO-MPOG 2015/ESAF) Um restaurante especializado em carnes recebe somente 3 tipos de clientes, a saber: os que gostam de carne de gado, os que gostam de carne de javali e os que gostam de carne de jacaré. Desses clientes que frequentam o restaurante, 50% deles gostam de carne de gado, 40% gostam de carne de javali e 10% gostam de carne de jacaré. Por outro lado, dos clientes que gostam de carne de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem cerveja; dos clientes que gostam de carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja; dos clientes que gostam de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja. Um cliente, ao sair do restaurante, informa que não bebeu cerveja. Assim, a probabilidade de que ele goste de carne de javali é igual a:

a) 8/29
b) 1/5
c) 45/47
d) 7/8
e) 25/32

Resolução

 

Vamos montar uma tabelinha para resolver? Vamos supor, sem perda de generalidade, que nosso universo é composto por 1.000 clientes.

 

Bebem Cerveja

Não bebem cerveja

      Total

Carne de Gado

 

 

 

Carne de Javali

 

 

 

Carne de Jacaré

 

 

 

Total

 

 

      1.000

 

50% gostam de carne de gado: 500 clientes

40% gostam de carne de javali: 400 clientes

10% gostam de carne de jacaré: 100 clientes.

 

 

Bebem Cerveja

Não bebem cerveja

     Total

Carne de Gado

 

 

      500

Carne de Javali

 

 

      400

Carne de Jacaré

 

 

      100

Total

 

 

     1.000

 

Dos clientes que gostam de carne de gado, 80% das vezes que vão ao restaurante eles bebem cerveja: 80% de 500 = 400 bebem cerveja; 100 não bebem cerveja.

 Dos clientes que gostam de carne de javali, 90% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja: 90% de 400 = 360 bebem cerveja; 40 não bebem cerveja.

 Dos clientes que gostam de carne de jacaré, 95% das vezes que vão ao restaurante, eles bebem cerveja: 95% de 100 = 95 bebem cerveja; 5 não bebem cerveja.

Nossa tabela fica assim:

 

 

Bebem Cerveja

Não bebem cerveja

     Total

Carne de Gado

      400

         100

      500

Carne de Javali

      360

          40

      400

Carne de Jacaré

      95

           5

      100

Total

 

 

     1.000

 

Só precisamos agora preencher os totais na última linha.

 

 

  Bebem Cerveja

Não bebem cerveja

     Total

Carne de Gado

        400

         100

      500

Carne de Javali

        360

          40

      400

Carne de Jacaré

        95

           5

      100

Total

       855

         145

     1.000

 

Vamos agora analisar o finalzinho do enunciado.

Um cliente, ao sair do restaurante, informa que não bebeu cerveja. Assim, a probabilidade de que ele goste de carne de javali é igual a:

Ora, sabemos que o cliente NÃO BEBEU CERVEJA. Assim, nosso universo foi restringido para apenas 145 pessoas. São as 145 pessoas que não bebem cerveja. Queremos calcular a probabilidade de que ele goste de carne de javali.

Destas 145 pessoas que não bebem cerveja, 40 gostam de carne de javali. A probabilidade pedida é 40/145.

Simplificando esta fração por 5, obtemos 40/145 = 8/29.

Letra A

Espero que tenham gostado e que a partir de agora você torça para cair uma questãozinha sobre probabildiade condicional.

Um forte abraço, bons estudos e até o próximo artigo.

Guilherme Neves


Comentários

  • 16/03/2016 - Wilson
    Bom dia Professor.

    Muito bacana esses artigos. Adquirir o seu curso para a DPF (Agente Administrativo) e estou frenético rsrs para que logo comece. O seu método é muito bom!
  • 16/03/2016 - Prof Guilherme Neves
    Valeu, Wilson! Fico muito feliz que você está gostando!! Grande abraço e até a primeira aula do curso.
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