Prof. Guilherme Neves

14/03/2016 | 17:28
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Como aproximar raiz quadrada sem calculadora

Oi, pessoal!

Tudo bem?

Antes de mais nada: um feliz dia do Pi. Hoje, 14 de março é o dia do famoso número irracional 3,1415926535...Isso porque os americanos utilizam a notação mês/dia, então 14 de março é 3/14. Rs...

Vamos ao que interessa. Um dos grandes tormentos do estudante é o fato de não ser autorizado o uso de calculadoras tanto nas escolas quanto nos diversos processos seletivos (inclusive concursos).

Eu, particularmente, sou totalmente contra isto. Acho que depois que o aluno já está familiarizado com as operações básicas, o uso de calculadoras deveria ser autorizado e estimulado. Qualquer maquininha de 5 reais faz contas. O que devemos é ensinar aos alunos como raciocinar e, principalmente, como resolver problemas.

Bom, deixemos esta discussão de lado. O fato é que você não pode usar calculadoras nas suas provas de concursos públicos e uma grande dor de cabeça é o cálculo aproximado de raízes quadradas.

São inúmeras as situações em que você precisa utilizar uma boa aproximação de raízes quadradas.

Neste artigo, vou mostrar um caso particular do chamado método de Newton-Raphson. De complicado o método só tem o nome. Este certamente é o método mais fácil e eficaz para calcular aproximações de raízes quadradas.

Newton dispensa apresentações. Para ilustrar um pouco da sua importância na história da ciência, suas realizações foram expressas poeticamente por Alexandre Pope nos versos:

A Natureza e as Leis da Natureza jaziam ocultas na noite;

Deus disse, “Faça-se Newton”; e a luz se fez.

 

Joseph Raphson foi um matemático inglês que escreveu um opúsculo que basicamente descrevia o método de Newton.

Não falarei de uma maneira geral sobre o método de Newton-Raphson. Falarei apenas sobre um caso particular deste método para aproximar raízes quadradas. Beleza?

 

Vamos lá. Antes de mais nada preciso apresentar-lhes os famigerados quadrados perfeitos. Quadrados perfeitos são números que são o quadrado de um número natural.

Por exemplo, 9 é um quadrado perfeito porque 9 = 3x3.

Da mesma maneira, 121 é um quadrado perfeito porque 121 = 11x11.

Existem muitas curiosidades sobre os quadrados perfeitos. Uma delas é a seguinte: a soma dos n primeiros números ímpares é igual a n2.

Por exemplo: A soma dos 4 primeiros números ímpares é 42=16. Observe: 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A soma dos 50 primeiros números ímpares é 502=2.500.

Mas isso não vem ao caso. Só falei porque eu acho essa propriedade sensacional.

Voltando ao Método de Newton. Para utilizar este método de uma maneira eficaz você precisa conhecer os quadrados perfeitos.

12=1, 22=4, 32=9, 42=16, 52=25, 62=36, 72=49, 82=64, 92=81, 102=100, 112=121, 122=144, 132=169,...

Para começar o método, você deve procurar o quadrado perfeito mais próximo do número em questão.

Por exemplo, se você quer calcular uma aproximação para √124, então o quadrado perfeito mais próximo será 121.

Vamos chamar este quadrado perfeito mais próximo de x2. A sua raiz quadrada será x.

Pois bem, √a pode ser aproximada por (a+x2)/2x, em que x2 é o quadrado perfeito mais próximo de a.

- Guilherme, entendi absolutamente nada!!

Veja bem, meu amigo, como é simples.

Queremos calcular a raiz quadrada de 124. Veja o passo a passo.

i) Qual é o quadrado perfeito mais próximo? 121.

ii) No numerador, colocamos 124 + 121 = 245.

iii) No denominador, colocamos 2 vezes 11 = 22. Perceba que 11 é a raiz de 121.

iv) Pronto! √124 ≈ 245/22 ≈ 11,136.

Pegue sua calculadora e calcule √124. Você encontrará 11,135. Ou seja, o método de Newton é MUITO preciso!!!

Resumindo o método:

- O numerador é a soma do número dado na raiz (radicando) com o quadrado perfeito mais próximo.

- O denominador é duas vezes a raiz deste quadrado perfeito.

- Dividiu, acabou!

Vamos fazer mais um exemplo?

Vamos calcular √173,8.

Guilherme, isto dá certo com números decimais também?

Meu amigo, não é à toa que Newton morreu há mais de 350 anos e vamos citá-lo eternamente. Rs...

i) Qual é o quadrado perfeito mais próximo de 173,8? É 169 e sua raiz quadrada é 13.

ii) O numerador será 173,8 + 169=342,8 e o denominador será 2x13=26.

iii) √173,8 ≈ 342,8/26 = 13,184.

Na calculadora você encontra 13,183.

 

Vamos agora aproximar √98,3.

i) Qual o quadrado perfeito mais próximo? 100 e sua raiz quadrada é 10.

ii) O numerador será 98,3 + 100 = 198,3 e o denominador será 2 x 10 = 20.

iii)√98,3 ≈ 198,3/20 = 9,915.

Espero que vocês tenham gostado da dica. Um forte abraço, bons estudos e até o próximo artigo.

Guilherme Neves

 

 

 


Comentários

  • 17/03/2016 - Paulo
    Professor, isso é BRILHANTE!!!! Parabéns.

    Agora, restou uma dúvida.
    Como aplicar o método para números como decimais como esses, por exemplo: 1,5 ; 0,6 e 0,07.

    - Raiz (1,5): 3,8729 (valor calculadora)
    Para aplicar o método Newton tive que multiplicar por 10 e deu certo, resultado =3,875

    -Raiz (0,6)=0,7745 (calculadora)
    Para aplicar o método tive que multiplicar por 100 e depois dividir o resultado por 10 para dar certo. Resultado= 0,775

    - Raiz (0,07) = 0,2645
    Pelo metodo tive que multiplicar por 10.000 e depois dividir por 100 para dar certo:
    Resultado = 0,2646

    Gostaria de saber se teria uma regra geral (método) para esses casos então, porque fiz no chutometro e deu certo, mas sem embasamento teórico rsrs?

    Obrigado, abs.
  • 14/03/2016 - Samuel
    Legal demais esses método! E a explicação foi excelente. Direta e simples. Parabéns e obrigado pela dica.
  • 14/03/2016 - Prof Guilherme Neves
    Oi, Samuel! Muito obrigado pelo feedback. Abraços e bons estudos.
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